Особенности NURBS-моделирования

В Autodesk Alias применяется моделирование на основе кривых NURBS.

NURBS (англ. Non-uniform rational B-spline) – это математическая форма, применяемая в компьютерной графике для генерации и представления кривых и поверхностей. Как следует из его названия, он является частным случаем B-сплайнов, причем широко распространенным из-за своей стандартизированности и относительной простоты.

Работы над NURBS начались в автомобилестроительной отрасли в 50-х гг. XX в. Причиной начала исследований в этой области послужила необходимость точной записи и многократного воспроизведения сложных форм, особенно характерных для автомобилестроения и авиастроения. Растущие темпы и объемы выпуска новых изделий делали непригодным традиционный способ, при котором модель каждый раз воспроизводилась с помощью однажды созданного физического эталона. Основной вклад в эти исследования внесли французские математики Пьер Безье (компания «Рено») и Поль де Кастельжо (компания «Ситроен»), работавшие над проблемой параллельно и независимо друг от друга. На сегодня NURBS стал неотъемлемой частью САПР. Термины, связанные с NURBS-моделированием, зачастую не имеют точного перевода на русский язык, и употреблять их удобнее на языке оригинала.

С точки зрения пользователя, NURBS представляет собой кривую, имеющую начало и конец, а также так называемые CV – контрольные вершины (Control Vertex) – точки, позволяющие контролировать и изменять форму кривой.

Одиночная NURBS-кривая, геометрия которой определяется управляющим полигоном из CV

Одиночная NURBS-поверхность представляет собой участок поверхности, ограниченный несколькими NURBS-кривыми, геометрия которых определяет геометрию самого участка.

Одиночная NURBS-поверхность

Трехмерные модели, построенные на основе NURBS, представляют собой комбинацию из одиночных поверхностей, называемых лоскутами, или патчами (patch).

Модель из комбинации NURBS-патчей

Главная характеристика такой поверхности – способ непрерывности (continuity) соединения патчей между собой. Непрерывность – это «мера» того, насколько плавно одиночные поверхности «перетекают» друг в друга.

Существует три основных типа непрерывности: позиционная, тангенциальная и по кривизне.

Позиционная непрерывность (G0)

• Позиционная непрерывность (Position continuity), также обозначаемая как G0, – это тип непрерывности, которая соединяет кривые или поверхности только по расположению, то есть образует угол или ребро.

Кривые и поверхности, соединенные с непрерывностью G0

Тангенциальная непрерывность (G1)

• Тангенциальная непрерывность (Tangent continuity), обозначаемая как G1, соединяет кривые или поверхности с непрерывностью по касанию, то есть создается новый участок, соединяющий исходные кривые или поверхности так, что касательные в местах стыка совпадают. Математически выражается как непрерывность производной. Другими словами, в точках соприкосновения радиус кривизны сопрягаемых кривых и поверхностей одинаков. Простейшим примером G1 может служить обычное скругление прямого угла с определенным радиусом, часто применяемое в САПР.

Соединение кривых и поверхностей с непрерывностью G1

Непрерывность по кривизне (G2)

• Непрерывность по кривизне (Curvature continuity), обозначаемая как G2, соединяет кривые или поверхности с непрерывностью по кривизне в точках соприкосновения. Математическим выражением такой непрерывности является одинаковое значение второй производной для двух функций в области сопряжения их графиков.

Соединение кривых и поверхностей с непрерывностью G2 (зеленые линии перпендикулярны касательным и совпадают, фиолетовые — вторые производные — имеют одинаковые значения)

Существуют также непрерывности G3 и G4, являющиеся еще более математически совершенными версиями G2, но в данном пособии такие сопряжения, преимущественно, не применяются, о них будет рассказано в будущих руководствах.

Кроме того, непрерывность G2 имеет безусловную эстетическую ценность, связанную с гладкостью поверхности и поведением светового блика, многими практическими исследованиями доказано, что при проектировании промышленных изделий применение таких сопряжений благотворно влияет на распределение внутренних напряжений при нагрузках. Таким образом, повышается прочность и долговечность продукции при незначительных различиях в массе и объеме затрачиваемого материала, по сравнению с применением сопряжений G1. Именно поэтому G2 можно увидеть почти во всех современных устройствах, например, в корпусах мобильных телефонов.